黎曼zeta函数/黎曼zeta函数图像

黎曼zeta函数的解析延拓怎么推导?

方法一涉及Poisson求和公式、积分技巧以及Gamma函数，通过定义特定公式，运用Fourier变换、Poisson求和公式，最终得出Zeta函数的函数方程，将其定义域扩至除s=1之外的全平面。方法二则聚焦于围道积分策略，考虑特定积分并分析每段路径，通过留数定理和放缩技巧，同样揭示了Zeta函数的函数方程。

为了能把[公式] 进行延拓，我们还得引入 [公式]的另外一个积分表达式。这个表达式开始于一个围道积分。积分路径如图1所示，从 [公式] 开始沿实轴下方到原点附近绕原点一周后从实轴上方到 [公式] 。

通过Gamma函数可将黎曼 Zeta 函数转换为积分形式 [公式] 。作换元 [公式] ，得到 [公式] ，利用等比级数性质 [公式] ，最终得到黎曼函数的积分形式 [公式] 。随后，将在公式 1-10 的基础上对 Zeta 函数进行解析延拓。黎曼Zeta函数的解析延拓 考虑椭圆复变函数的柯西积分公式 [公式] 。

将Hurwitz zeta函数的解析延拓应用到Riemann zeta函数上，通过留数定理，将函数的积分式转化为其在复平面上所有极点处的留数之和。将积分围道改造，利用留数定理展开右侧积分，得到Riemann zeta函数的函数方程。